FISIKA

1.       Pengertian posisi

Posisi atau kedudukan suatu benda pada bidang datar maupum ruang daat dinyatakan dalam sebuah vektor yang disebut vektor posisi atau vektor kedudukan. Vektor posisi r menunjukkan dari titik asal ke posisi partikel. Untuk gerak pada bidang vektor dinyatakan sebagai r = x i + y j. Dalam selang waktu r, yang disebut perpindahan. Vektor perpindahan r menunjukkan dari posisi akhirnya.

r = r2 - r1 Dalam bentuk komponen dapat ditulis. r = x i + y j dengan 0.x = x2 - x1dan r = y2 - y1
Kecepatan rata-rata adalah perubahan perpindahan dalam selang waktu tertentu. Karena itu kecepatan rata-rata searah dengan perpindahan.

2.       Penulisan posisi benda tentang penulisan vector

Pada umumnya, posisi atau kedudukan suatu titik ditunjukkan dengan sebuah koordinat. Sebuah koordinat memiliki suatu titik acuan, atau suatu kerangka acuan. Berdasarkan kerangka acuan tersebut, akan dapat digambarkan kedudukan suatu titik dalam koordinat tersebut. Data bahwa pesawat berada pada jarak 20 km akan tidak bermakna, jika tidak disertai arah petunjuk dan titik acuannya. Namun angka 20 km akan menjadi informasi penting jika dikatakan, bahwa pesawat berada 20 km sebelah timur dari menara kontrol. Begitu juga dalam koordinat kartesius, yang umumnya menempatkan koordinat (0,0) sebagai pusat acuannya. Misalkan dalam koordinat kartesius titik A berada pada koordinat (2,4), dan titik B pada koordinat (-2,3).

Selain menggunakan grafik kartesius, posisi suatu partikel dapat pula ditunjukkan dengan menggunakan grafik koordinat polar (r , θ). Di mana r adalah jarak suatu titik ke pusat koordinat, dan θ adalah sudut dari sumbu x positif dalam koordinat kartesius menuju titik materi dengan arah berlawanan arah jarum jam. Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat polar adalah :

x = r . cos θ                                         y = r . sin θ

Misalnya, suatu titik berjarak 10 cm dari titik pusat koordinat dan membentuk sudut 37° terhadap sumbu x positif, maka gambaran posisi titik tersebut dalam koordinat polar adalah seperti berikut ini.

Kedudukan dalam koordinat polar dapat diubah dalam koordinat kartesius. Besar nilai x dan y adalah :

x = r . cos θ                                         y = r . sin θ

x = 10 . cos 37°                                   y = 10 . sin 37°

x = 10 . 0,8                                          y = 10 . 0,6

x = 8 satuan                                         y = 6 satuan

            Kedudukan atau posisi suatu benda dinyatakan dalam vektor satuan. Adapun persamaan umum vektor posisi dalam dua dimensi adalah :

r  = x i + y j                di mana besar vektor satuan  i = 1

                               dan besar vektor satuan    j = 1

            Penulisan suatu vektor satuan dinyatakan dalam huruf miring. Misalnya vektor satuan yang searah sumbu x dinyatakan dengan i. Vektor itu sendiri diwakili dengan huruf tebal, seperti vektor kedudukan atau vektor pisisi suatu titik dalam dua dimensi adalah r. Prinsip penulisan lambang seperti tersebut tidak baku namun lazim digunakan secara umum. Jika ingin dibuat suatu teknik penulisan yang lain, dan telah disepakati, maka hal itu dapat dilakukan, seperti penulisan vektor posisi dengan memberi tanda panah di atas suatu lambang vektor, atau pemberian harga mutlak pada suatu lambang vektor untuk melambangkan besar dari suatu vektor.

3.       Pengertian vector satuan

Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan. Dalam sistem koordinat terdapat 3 macam vektor satuan yaitu : 

a. Vektor satuan dalam arah sumbu x diberi simbol Î
b. Vektor satuan dalam arah sumbu y diberi simbol   ĵ 
c. Vektor satuan dalam sumbu z diberi simbol k

vektor arah /vektor satuan : adalah vektor yang besarnya 1 dan arahnya sesuai dengan yang didefinisikan. Misalnya dalam koordinat kartesian : i, j, k. yang masing masing menyatakan vektor dengan arah sejajar sumbu x, sumbu y dan sumbu z.

Sehingga vektor a dapat ditulis :

a = a_x i + a_y j

dan besar vektor a adalah :

 aÖa = _x ² + a_y ²

4.       Sifat perkalian vector satuan

Perkalian skalar, misalnya k, dengan vektor, misalnya A, akan menghasilkan kA. Besaran (kA) ini merupakan sebuah vektor baru yang besarnya adalah besar k dikali besar A dan arahnya searah dengan vektor A jika k positif, dan berlawanan arah jika k negatif. Perkalian vektor dengan skalar ini bersifat komutatif, yaitu kA = Ak.

Perkalian Vektor dengan Skalar

Perkalian Titik (Dot Product

Perkalian titik adalah perkalian vektor yang didefinisikan sebagai:

A ∙ B = AB cos θ

dengan θ adalah sudut antara vektor A dan vektor B. Sedangkan A dan B merupakan besar dari vektor A dan vektor B. Karena A, B, dan θ adalah skalar, maka hasil perkalian titik adalah skalar. Perkalian titik ini bersifat komutatif, yaitu A ∙ B = B ∙ A atau AB cos θ = BA cos θ.

Untuk memudahkan perhitungan perkalian titik dua vektor, perlu dipahami terlebih dahulu sifat-sifat perkalian titik sesama vektor satuan. Perkalian titik antara dua vektor satuan akan bernilai satu jika kedua vektor tersebut sejenis dan bernilai nol jika tidak sejenis.

i ∙ i = j ∙ j = k ∙ k = (1)(1)  cos 0° = 1

i ∙ j =i ∙ k = j ∙k = (1)(1)  cos 90°= 0

Sudut antara vektor satuan i dan i adalah 0˚ maka (i)(i) cos 0° = 1, sedangkan sudut antara vektor satuan i dan j adalah 90˚ maka (i)(j)  cos 90° = 0. Ketentuan ini memenuhi sifat perkalian titik sesama vektor.

Berdasarkan sifat-sifat perkalian titik antara vektor satuan, maka perkalian titik antara vektor A dan vektor B dapat diperoleh sebagai berikut;

A ∙ B = (Ax i + Ay j + Az k) ∙ (Bx i + By j + Bz k)

          = AxBx + AyBy + AzBz
Perkalian Silang (Cross Product)
Perkalian silang adalah perkalian vektor yang didefinisikan sebagai:
C = A × B
di mana C merupakan vektor baru hasil perkalian silang antara vektor A dan B. Besar vektor C adalah:
C = AB sin θ
dengan A adalah besar vektor A dan B adalah besar vektor B, sedangkan θ adalah sudut antara keduanya.

Arah dari vektor C ini tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh dua vektor tersebut. Di mana arahnya adalah sesuai dengan aturan tangan kanan di mana ujung vektor A menuju ujung vektor B searah dengan lipatan empat jari sedangkan jempol menunjukkan arah vektor C (lihat gambar di bawah).

Arah Vektor C

Pada perkalian silang vektor ini tidak berlaku sifat komutatif, jadi A×B ≠ B×A. Akan tetapi berlaku sifat anti-komutatif, yaitu A×B= -B×A. Artinya besar vektor B×A memiliki besar yang sama dengan vektor A×B namun arahnya berlawanan.
Untuk menentukan nilai resultan vektor dan persamaan perkalian vektor, dapat digunakan sifat-sifat perkalian silang sesama vektor satuan:
1. Perkalian silang antara dua vektor satuan yang sama besar dan searah bernilai nol. Misalnya,

i×i = 0, j×j = 0, dan k×k = 0.

2. Perkalian antara dua vektor satuan yang berbeda akan bernilai positif jika searah jarum jam, dan bernilai negatif jika berlawanan arah dengan jarum jam.

i×j = k
j×k = i
k×i = j
j×i = -k
k×j = -i
i×k = -j
Berdasarkan sifat-sifat perkalian silang antara vektor satuan tersebut, maka perkalian silang antara dua vektor A dan B dapat diperoleh sebagai berikut:

A×B = (Ax i + Ay j + Az k)×(Bx i + By j + Bz k)
        = (AyBz - AzBy) i - (AxBz - AzBx) j + (AxBy - AyBx) k
Untuk mempermudah dalam mengingat rumus di atas bisa menggunakan metode determinan seperti berikut ini:

A×B = i AyBz + j AzBx + k AxBy - k AyBx - i AzBy - j AxBz

        = (AyBz - AzBy) i - (AxBz - AzBx) j + (AxBy - AyBx) k

5.       Penulisan vector perpindahan

`       Pengertian perpindahan perlu dibedakan dengan jarak. Sebagai sebuah ilustrasi, seandainya ada seorang anak yang berjalan ke timur sejauh10 m, kemudian kembali ke arah barat 4 m, maka dikatakan bahwa perpindahan anak tersebut adalah 6 m, namun jarak yang ditempuhnya sebesar 14 m. Dengan demikian, coba simpulkan perbedaan perpindahan dan jarak itu.

Adanya perbedaan pengertian perpindahan dan jarak, akan berimplikasi terhadap pengertian akan kecepatan (velocity) dan kelajuan (speed). Perpindahan yang ditempuh oleh suatu benda tiap satuan waktu akan menunjukkan kecepatan, dan besarnya jarak yang ditempuh oleh suatu benda tiap satuan waktu disebut dengan kelajuan.

Suatu benda dikatakan melakukan perpindahan jika posisi dari benda tersebut mengalami perubahan terhadap titik acuan. Seorang kondektur bus - saat meminta karcis penumpang dari baris kursi terdepan menuju kursi belakang - dikatakan telah melakukan perpindahan. Namun seperti yang telah disebutkan sebelumnya, bahwa perpindahan tidak sama dengan jarak yang ditempuh. Jika perpindahan sebagai suatu besaran vektor memperhatikan arah, sedang jarak adalah lintasan total yang dilakukan benda tanpa memperhatikan arah gerakan benda.

            Dalam sistem koordinat kartesius, misalkan suatu titik N, mula-mula saat t = 0 berada di titik (1,1) m, kemudian saat t = 4 s berada pada titik (4,5) m, maka besaran-besaran yang berkaitan dengan vektor perpindahan adalah :

Vektor posisi awal titik N :

r_N1 = 1 i + 1 j

r_N2 = 4 i + 5 j

Vektor perpindahan titik N :

Δ r_N = r_N2 – r_N1

Δ r_N = (4 i + 5 j) – (1 i + 1 j)

Δ r_N = 3 i + 4 j

Komponen vektor perpindahan titik N pada sumbu x adalah 3

Komponen vektor perpindahan titik N pada sumbu y adalah 4

Besar vektor perpindahan titik N adalah :

Δ r_N =  = 5 m

maka θ = 53,1° terhadap sumbu x positif dengan arah berlawanan arah jarum jam.

         Suatu vektor posisi dapat pula dinyatakan dalam sebuah persamaan yang mengandung unsur t, seperti vektor posisi T = 5t i + 2 t² j .  Sehingga misalkan ditanyakan vektor posisi titik T saat t = 3 s adalah T = 5 (3) i + 2 (3)² j = 15 i + 18 j.

6.       Cara menyelesaikan operasi penjumlahan

Penjumlahan Vekor
Inti dari operasi penjumlahan vektor ialah mencari sebuah vektor yang komponen-komponennya adalah jumlah dari kedua komponen-komponen vektor pembentuknya atau secara sederhana berarti mencari resultan dari 2 vektor. Aga susah memang dipahami dari definisi tertulis. Kita coba memahaminya dengan contoh:

Untuk vektor segaris, resultannya
R = A + B + C + n dst…
untuk penjumlahan vektor yang tidak segaris misalnya seperti gambar di bawah ini
rumus penjumlahan vektor bisa didapat dari persamaan berikut
Menurut aturan cosinus dalam segitiga,
(OR)² = (OP)² + (PR)² – 2(OP)(PR) cos (180o – α)
(OR)² = (OP)² + (PR)² – 2(OP)(PR) -(cos α)
(OR)² = (OP)² + (PR)² + 2(OP)(PR) cos α
Jika OP = A, PR = B, dan Resultan ‘R’ = OR
maka didapat persamaan
R² = A² + B² + 2AB cos α
Rumus menghitung resultan vektornya

Dalam penjumlahan vektor sobat hitung bisa menggunakan 2 cara
1. Penjumlahan Vektor dengan cara Jajar Genjang (Pararelogram)
yaitu seprti yang dijelaskan di atas. Metode yang digunakan adalah dengan mencari diagonal jajar genjang yang terbentuk dari 2 vektor dan tidak ada pemindahan titik tangkap vektor.
2. Penjumlahan Vektor dengan Cara Segitiga
pada metode ini dilakukan pemindahan titik tangka vektor 1 ke ujung vektor yang lain kemudian menghubungkan titi tangkap atau titik pangkal vektor pertama dengn titik ujung vektor ke dua. Lihat ilustrasi gambar di bawah ini.

Untuk vektor yang lebih dari 2, sama saja. Lakukan satu demi satu hingga ketemu resultan akhirnya.  Dari gambar di atas, V = A + B dan R = V + C atau R  = A + B + C
Pengurangan Vektor
Pengurangan Vektor pada prinsipnya sama dengan penjumlahan, cuma yang membedakan adalah ada salah satu vektor yang  mempunyai arah yang berlawanan. Misalnya vektor A bergerak ke arah timur dan B bergerak ke arah barat maka resultannya
R = A + (-B) = A – B
Rumus Cepat Vektor
berikut rumus cepat panduan mengerjakan soal vektor fisika

Jika α = 0^o maka R = V₁ + V₂

Jika α = 90^o maka R = √(V₁² + V₂²)

Jika α = 180^o maka R = | V₁ + V₂ | –> nilai mutlak

Jika α = 120^o dan V₁ = V₂ = V maka R = V

 Contoh Soal
Dua buah vektor sebidang erturut-turut besarnya 8 satuan dan 6 satuan, bertitik tangkap sama dan mengapit sudut 30^o Tentukan besar dan arah resultan  vektor tersebut tersebut!
Jawaban :

R = 8² + 6² + 2.6.8.cos 30
R = 64 + 36 + 96 0,5 √3
R = 100 + 48√3

7.       Pengertian kecepatan rata-rata dan penulisannya dalam bentuk notasi vektor

kecepatan rata-rata dinyatakan sebagai hasil bagi perpindahan terhadap selang waktu dari perpindahan itu dan dirumuskan: